SymPy教程之四——表达式化简

在本文中,我们将详细研究SymPy中对表达式的化简。SymPy针对表达式类型的多样,提供了丰富的化简函数,供我们调用。除此之外,SymPy还提供了通用的化简函数simplify,它采用启发式算法,能够自己探寻最好的化简结果。显然地,启发式算法并不完美,有时的结果并不“最简”。

所以,熟悉这些函数、活用这些函数,才能保证我们得到想要的结果。

如果你对这SymPy库尚不太熟悉,可以参考我之前的三篇基础教程:

SymPy教程之一——SymPy介绍

SymPy教程之二——基本概念

SymPy教程之三——基本运算

关于示例程序:本文的示例程序在Python 3.4.1交互环境运行,文中的>>>表示语句,其它表示语句的执行结果。表达式的显示方式,采用默认的文本方式展示。

在日常工作、学习实际推导中,推荐使用IPython,并开启公式渲染,以获得更佳的显示效果。具体设计方法可以参考SymPy教程之一——SymPy介绍

化简

符号运算系统最有用的一项特性就是数学表达式的化简。SymPy中有许多能够进行不同类型表达式化简的函数。其中,有一个通用的函数名为 simplify,它能够试图以一种智能的方式应用这些化简函数,并最终得到表达式的最简形式。

下面给出几个例子:

>>> simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)
1
>>> simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))
x - 1
>>> simplify(gamma(x)/gamma(x - 2))
(x - 2)*(x - 1)

IPython中执行上面语句,效果如下:
image

simplify的缺陷

simplify有一个缺陷,由于表达式“最简化”并没有一个良好的定义,SymPy只能使用库中已有的化简操作,使用启发式方法来决定其认为的“最简化”结果。

举例来说,对于表达式(x^2+2x+1),使用simplify函数并不能化简成((x+1)^2)

simplify的另外一个缺陷是,由于它要尝试使用不同的化简方法,并选择最佳的那个,这个过程要花费一些时间。如果你事先已经你确定要进行那一种化简,那么直接调用特定的化简函数,这是更佳的方法,能节省一些时间。

指定化简函数,而不使用通用的 simplify函数还有一个好处,就是可以保证输出的形式。例如,对于factor函数,如果施加到有理系数多项式上,那么得到的结果一定是最简因式。而simplify没有这种保证,因为它是完全启发式的,有时会错过可能的化简类型。

何时使用simplify比较好?当你在交互式的环境里,调用simplify函数,想看看它能把表达式化简到什么程度,然后你再选择几个特定的化简函数,看看是否还能再进一步简化。

展开表达式

表达式展开SymPy中最常用的化简操作,对应的函数为expand

很多数学理论都有展开的概念,我们在这里特指对多项式的展开。例如:

>>> expand((x + 1)**2)
x**2 + 2*x + 1
>>> expand((x + 2)*(x - 3))
x**2 - x - 6

它能为我们完成两件事:展开合并同类项

因式分解

因式化对应的函数是factor,它能够将一个多项式约成几个最简整式的积的形式,也就是因式分解。

例如:

>>> factor(x**3 - x**2 + x - 1)
(x - 1)*(x**2 + 1)
>>> factor(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)
z*(x + 2*y)**2

factor函数的实现采用了一种完整的有理数多变量因式分解算法,能够保证因式为最简。

使用factor_list函数,能够将因式分解后得到的因式作为一个列表(List)返回。例如:

>>> factor_list(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)
(1, [(z, 1), (x + 2*y, 2)])

合并同类项

合并同类项对应的函数为collect,能将多项式中同类项合成一项。

使用方法如下:

>>> expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
>>> expr
x**3 - x**2*z + 2*x**2 + x*y + x - 3
>>> collected_expr = collect(expr, x)
>>> collected_expr
x**3 + x**2*(-z + 2) + x*(y + 1) - 3

分式化简

分式化简函数的名称是cancel,它能化简任何分式函数,并能将其约到最简形式。

下面给出几个分式化简的例子:

>>> cancel((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x))
(x + 1)/x

>>> expr = 1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4)
>>> expr
(3*x/2 - 2)/(x - 4) + 1/x
>>> cancel(expr)
(3*x**2 - 2*x - 8)/(2*x**2 - 8*x)

>>> expr = (x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1)
>>> expr
(x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1)
>>> cancel(expr)
(y**2 - 2*y*z + z**2)/(x - 1)

分式裂项

分式裂项函数的名称是apart,它能将一个分式分解为几个分式的和、差。且分解出来的分式,都是最简形式。

例如:

>>> expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
>>> expr
(4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
>>> apart(expr)
(2*x - 1)/(x**2 + x + 1) - 1/(x + 4) + 3/x

三角化简

由三角函数组成的表达式,可以使用trigsimp函数来化简。

下面给出三个例子:

>>> trigsimp(sin(x)**2 + cos(x)**2)
1

>>> trigsimp(sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4)
cos(4*x)/2 + 1/2

>>> trigsimp(sin(x)*tan(x)/sec(x))
sin(x)**2

trigsimp函数也能够化简双曲三角函数:

>>> trigsimp(cosh(x)**2 + sinh(x)**2)
cosh(2*x)

>>> trigsimp(sinh(x)/tanh(x))
cosh(x)

simplify相似的是,trigsimp对输入的表达式应用多种三角变换公式,使用启发式的方法来返回“最好”的那一个。

三角展开

要展开三角函数,可以使用expand_trig函数,它能够使用三角恒等式,将三角表达式展开。

示例:

>>> expand_trig(sin(x + y)) 
sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x)

>>> expand_trig(tan(2*x)) 
2*tan(x)/(-tan(x)**2 + 1) 

指数化简

若表达式中存在指数可以化解的情况,可以使用powsimp函数。 指数化简包含合并指数和合并基底两种情况。

示例如下:

>>> powsimp(x**a*x**b) 
x**(a + b) 

>>> powsimp(x**a*y**a) 
(x*y)**a 

注意,对于示例中的第二条语句(合并基底),要满足一定的条件才能够进行。首先,x,y需为正,且a需为实数。因此,我们在创建symbols的时候,必须指定:

x, y = symbols('x y', positive=True)
a, b = symbols('a b', real=True) 

这样,示例中的语句二才能进行合并基底,否则,将显示原表达式,不做任何处理。

指数展开

与上一节的指数化简相对的,是指数展开,同样地,指数展开包含两个部分,指数展开与基底展开。

其中,指数展开对应的函数为expand_power_exp,基底展开对应的函数为expand_power_base

示例:

>>> expand_power_exp(x**(a + b)) 
x**a*x**b 

>>> expand_power_base((x*y)**a) 
x**a*y**a 

对于语句二,symbols要与上一节中的基底合并满足同样的条件,才能得正确得到结果。

化简指数的指数

对于表达式(x**a)**b,含有两层指数,通过使用powdenest函数,能将其简化为一层的结构。

首先,这种化简需要满足下列的条件,才能正确进行:
x = symbols('x', positive=True)
也就是基底x要大于0。

示例:

>>> powdenest((x**a)**b) 
x**(a*b)

对数展开

首先要说明一点,在数学中,logln是不同的概念,而在SymPy中,两个是等同的,都指自然对数。

对数成立需要满足一定条件,我们与要定义满足条件的变量:

x, y = symbols('x y', positive=True)
n = symbols('n', real=True) 

指数展开函数为expand_log,能够套用指数展开公式来完成展开操作。

示例:

>>> expand_log(log(x*y)) 
log(x) + log(y) 
>>> expand_log(log(x/y)) 
log(x) – log(y) 
>>> expand_log(log(x**2)) 
2*log(x) 
>>> expand_log(log(x**n)) 
n*log(x) 

对数合并

与对数展开相对应地,是对数合并操作,函数名称为logcombine

变量需要满足与上一节中同样的条件

示例:

>>> logcombine(log(x) + log(y)) 
log(x*y) 

>>> logcombine(n*log(x)) 
log(x**n)

附录

本文是对SymPy官网教程Simplification一章的翻译。

我翻译了其中的大部分内容。对于原文中部分说明,我在尽量保证原意的情况下作出了一些简化。

这篇翻译并不包含Special Functions和Example: Continued Fractions两节,感兴趣的朋友可以查阅原文。